Две точки выбираются наугад из отрезка . Пусть и — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квадратное уравнение будет иметь вещественные корни.

Анализ задачи и построение решения:

Квадратное уравнение имеет вещественные корни, если его дискриминант неотрицателен. Дискриминант данного уравнения определяется как:

Условие наличия вещественных корней:

Геометрическое представление:

Рассмотрим плоскость с координатами и , где и равномерно распределены в интервале . Площадь этой области .

Область, где :

• Разделение области условием создает две зоны: одну выше кривой и одну ниже кривой в пределах от до .

Расчет площадей:

Площадь между кривой и осью от до дает вклад в область, где условие выполнено:

Поскольку функция симметрична относительно , достаточно рассчитать интеграл для половины области и умножить на 2:

Вычисление интеграла:

Таким образом, площадь равна:

Суммарная площадь, где дискриминант неотрицателен, учитывая обе стороны от оси :

Вероятность того, что уравнение имеет вещественные корни:

Таким образом, вероятность того, что квадратное уравнение будет иметь вещественные корни, составляет .