На плоскости, разграфленной параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии , наугад бросается игла длиной (). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из проведенных прямых?

Это классическая задача Бюффона о бросании иглы. Нам нужно найти вероятность того, что игла длиной пересечет одну из параллельных прямых, расстояние между которыми равно .

Обозначения:

• — угол между иглой и направлением параллельных прямых, где (из-за симметрии достаточно рассматривать углы в этом диапазоне).
• — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, где (из-за периодичности расположения прямых достаточно рассматривать расстояния в этом диапазоне).

Игла пересечет прямую, если:

Конец иглы пересечет прямую, если проекция половины длины иглы на перпендикуляр к прямым больше или равна расстоянию от центра иглы до ближайшей прямой:

Искомая вероятность :

Вероятность того, что игла пересечет одну из прямых, равна отношению площади области, где выполняется условие , к общей площади всех возможных положений иглы.

1. Общая площадь возможных исходов общ:

Поскольку и равномерно распределены в своих диапазонах, общая площадь равна:

2. Площадь благоприятных исходов благ:

Площадь области, где :

где — индикаторная функция, равная 1, когда условие выполняется, и 0 иначе.

Поскольку , а (так как ), верхний предел интегрирования по можно считать равным .

Таким образом, область интегрирования ограничена:

Переставим порядок интегрирования:

3. Вычисление интеграла:

Вычислим интеграл:

Таким образом:

4. Вычисление вероятности :

Ответ:

Вероятность того, что игла пересечет одну из прямых, равна .