На отрезке длины наугад выбираются две точки. Какова вероятность, что из трех отрезков, на которые делится исходный отрезок выбранными точками, можно составить треугольник?

Анализ задачи и построение решения:

Пусть и — координаты двух случайно выбранных точек на отрезке длины . Без потери общности предположим, что . Тогда длины отрезков, на которые делится исходный отрезок, будут:

• — длина от начала отрезка до первой точки,
• — длина между двумя точками,
• — длина от второй точки до конца отрезка.

Треугольное неравенство:
Чтобы из этих отрезков можно было составить треугольник, каждая из длин должна быть меньше суммы двух других. Это дает три условия:

1. ,
2. ,
3. .

Преобразуем эти неравенства:

1. или ,
2. или ,
3. или .

Геометрическое представление и расчет вероятности:

На единичном квадрате с вершинами в (0,0), (1,1), и диагональю от (0,0) до (1,1), точки такие, что , образуют треугольник. Все точки должны удовлетворять:

• (для ),
• и .

Поскольку отношение площади треугольника, удовлетворяющего всем трем условиям, к площади всего квадрата и даст вероятность составления треугольника, мы видим, что нужный треугольник занимает ровно половину всей площади. Таким образом, вероятность, что из трех отрезков можно составить треугольник, равна .