Условие

Рассмотрим множество из элементов. Наудачу выбирается одно из непустых подмножеств. Найти вероятность того, что в выбранном подмножестве четное число элементов.

Решение

Общее число подмножеств множества , если мы выбираем все, кроме пустого, то в обоих случаях мощность множеств уменьшится на единицу.

Свойство биномиальных коэффициентов состоит в том, что сумма коэффициентов по четным значениям равна сумме коэффициентов по нечетным для множества из элементов. Это происходит из-за симметрии биномиального разложения и его связи с разложением степеней , когда или .

По тождеству:
и

Отсюда:
$ч е т н о е н е ч е т н о е$

$в п о д м н о ж е с т в е ч е т н о е ч и с л о э л е м е н т о в$

В результате имеем