Условие

1.27 (продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они все равновозможны. Предположим дополнительно, что все шары с номерами (где ) окрашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Найдите вероятность того, что в выборке объема окажется ровно белых шаров, где .

Решение

Для решения задачи через подсчёт комбинаций, рассмотрим пространство всех возможных исходов и количество способов получить ровно белых шаров в упорядоченной выборке объема .

Шаг 1: Определение общего числа исходов

Так как каждый шар после извлечения возвращается обратно, каждое из извлечений может быть любым из шаров. Следовательно, общее количество возможных исходов упорядоченных выборок из шаров равно .

Шаг 2: Подсчёт благоприятных исходов

Чтобы найти количество способов получить ровно белых шаров, нужно выбрать позиций из для белых шаров, а остальные позиций будут занимать черные шары. Количество способов выбрать позиций из равно .

Для каждой такой комбинации, позиций могут быть заполнены любым из белых шаров, и позиций — любым из черных шаров. Так как шары возвращаются обратно после каждого извлечения, количество способов выбрать белых шаров равно , а черных шаров — .

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно:

Шаг 3: Расчет вероятности

Итак, вероятность получить ровно белых шаров в выборке из шаров равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

Это выражение дает точную вероятность того, что в выборке объема окажется ровно белых шаров, при условии что шары извлекаются с возвращением и каждый шар имеет равную вероятность быть извлеченным на каждом шаге.

На следующих семинарах мы познакомимся с биномиальным распределением и получим такую же формулу в немного другом виде