Доказать, что если и независимы, то независимы и , и , и .

1. Независимость и

По определению, события и независимы, если:

Вычислим левую часть:

Так как и независимы, то . Тогда:

Следовательно, и независимы.

2. Независимость и

Аналогично, события и независимы, если:

Вычислим левую часть:

Снова используем независимость и :

Следовательно, и независимы.

3. Независимость и

События и независимы, если:

Вычислим левую часть:

Так как , то:

Следовательно, и независимы.