1.117. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях из 10, а второй — в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают правильную монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Вот он видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?

Обозначим события:

• — стреляет первый стрелок.
• — стреляет второй стрелок.
• — событие попадания в цель.

Из условия задачи:

• Вероятность того, что стреляет первый стрелок: (так как монета правильная).
• Вероятность того, что стреляет второй стрелок: .
• Вероятность попадания для первого стрелка: .
• Вероятность попадания для второго стрелка: .

Требуется найти условную вероятность — вероятность того, что стрелял первый стрелок, при условии, что произошло попадание.

Используем формулу Байеса:

Где полная вероятность события равна:

Вычислим :

Теперь подставим значения в формулу Байеса:

Таким образом, вероятность того, что стрелял первый стрелок при условии попадания, составляет примерно .