В одном из ящиков стола с вероятностью лежит письмо. С какой вероятностью оно находится в восьмом ящике при условии, что в первых семи его нет?

Обозначения:

• — событие, что письмо находится в восьмом ящике.
• — событие, что письма нет в первых семи ящиках.

Требуется найти условную вероятность .

1. Вероятность события :

Письмо находится в столе с вероятностью . Если письмо есть, оно равновероятно может находиться в любом из 8 ящиков. Тогда вероятность того, что письмо находится в 8-м ящике:

2. Вероятность события :

Событие означает, что письма нет в первых семи ящиках. Это возможно в двух случаях:

• Письмо находится в 8-м ящике.
• Письма нет в столе вовсе.

Тогда вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

Учитывая, что вероятность отсутствия письма в столе равна :

Приведём выражение к общему знаменателю:

3. Вычисление условной вероятности :

По формуле условной вероятности:

Поскольку событие (письмо в 8-м ящике) автоматически означает, что письма нет в первых семи ящиках (т.е., событие является подмножеством ), то .

Подставляем найденные значения:

Сокращаем в числителе и знаменателе:

Ответ:

Вероятность того, что письмо находится в восьмом ящике при условии, что в первых семи его нет, равна: