Условие

В городе появилась новая болезнь, которой болеет 1% населения. К счастью, у врачей есть тест, способный показать положительный результат у больного с вероятностью 95% и у здорового с вероятностью 5%. С какой вероятностью человек действительно болен, если тест показал положительный результат? С какой вероятностью он болен, если два теста показали положительный результат?

Решение

Дано:

Вероятность того, что человек болен:
$Б о л е н$
Вероятность того, что человек здоров:
$З д о р о в$
Вероятность положительного результата у больного (чувствительность теста):
$Т е с т Б о л е н$
Вероятность положительного результата у здорового (ложноположительный результат):
$Т е с т З д о р о в$

Часть 1: Вероятность того, что человек действительно болен, если тест показал положительный результат

Необходимо найти условную вероятность $Б о л е н Т е с т$ .

Используем формулу Байеса:

Б о л е н Т е с т Т е с т Б о л е н Б о л е н Т е с т

Где полная вероятность положительного теста $Т е с т$ вычисляется по формуле полной вероятности:

Т е с т Т е с т Б о л е н Б о л е н Т е с т З д о р о в З д о р о в

Подставим известные значения:

Вычислим $Т е с т$ :

Т е с т

Вычислим $Б о л е н Т е с т$ :

Б о л е н Т е с т

Ответ на первую часть: Если тест показал положительный результат, вероятность того, что человек действительно болен, составляет примерно 16,1%.

Часть 2: Вероятность того, что человек болен, если два теста показали положительный результат

Предположим, что результаты тестов независимы друг от друга.

1. Вычислим вероятность того, что человек получит два положительных результата при условии, что он болен или здоров.

Для больного человека:

Д в а т е с т а Б о л е н Т е с т Б о л е н

Для здорового человека:

Д в а т е с т а З д о р о в Т е с т З д о р о в

2. Вычислим полную вероятность того, что оба теста положительны:

Д в а т е с т а Д в а т е с т а Б о л е н Б о л е н Д в а т е с т а З д о р о в З д о р о в

3. Применяем формулу Байеса для вычисления $Б о л е н Д в а т е с т а$ :

Б о л е н Д в а т е с т а Д в а т е с т а Б о л е н Б о л е н Д в а т е с т а

Ответ на вторую часть: Если два теста показали положительный результат, вероятность того, что человек действительно болен, составляет примерно 78,5%.

Итог:

При одном положительном тесте вероятность болезни составляет около 16,1%.
При двух положительных тестах вероятность болезни повышается до около 78,5%.