2.79. Отрезок разделён точками 1, 2, 3, 4, 7 на 4 отрезка длиной 1 и 2 отрезка длиной 3. Пусть — независимые случайные точки, имеющие равномерное распределение на отрезке . Найти вероятность того, что из этих точек в два каких-либо отрезка длиной 1 попадёт по 2 точки, а в каждый из оставшихся отрезков — по одной точке.

Шаг 1: Определение интервалов и их длин

Отрезок разделён точками 1, 2, 3, 4, 7 на следующие интервалы:

1. — длина
2. — длина
3. — длина
4. — длина
5. — длина
6. — длина

Шаг 2: Вероятности попадания точки в каждый интервал

Так как точки распределены равномерно на отрезке длиной 10, вероятность того, что случайная точка попадёт в интервал , равна отношению длины интервала к общей длине:

Тогда:

Шаг 3: Задача вероятности

Нужно найти вероятность того, что:

• В два каких-либо из отрезков длиной 1 (среди ) попадёт по 2 точки.
• В каждый из оставшихся интервалов (два отрезка длиной 1 и два отрезка длиной 3) попадёт по 1 точке.

Шаг 4: Вычисление вероятности для одного конкретного варианта

Выберем конкретные интервалы для вычисления, например:

• и содержат по 2 точки ().
• содержат по 1 точке ().

Шаг 5: Мультиномиальная вероятность данного распределения

Общая вероятность для конкретного распределения точек по интервалам даётся формулой мультиномиального распределения:

Подставляем значения:

• ,
• ,

Вычисляем коэффициент:

Вычисляем вероятность:

Упрощаем:

Шаг 6: Учитываем количество возможных комбинаций

Количество способов выбрать 2 интервала из 4 для размещения по 2 точки:

Поэтому общая вероятность:

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

Ответ:

Вероятность того, что в два каких-либо отрезка длиной 1 попадёт по 2 точки, а в каждый из остальных отрезков — по одной точке, равна:

Или приблизительно:

Заключение:

Искомая вероятность составляет или примерно 0,0054432.

Ответ:

Вероятность равна .