2.74. Двое игроков по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит "герб" (то есть, выпадет орёл). Найти вероятности следующих событий:

а) игра закончится до 4-го бросания;

б) выиграет начавший игру (первый игрок);

в) выиграет второй игрок.

Предположения:

• Монета симметричная, то есть вероятность выпадения "герба" (орла) равна .
• Броски независимы друг от друга.

Часть а)

Найти вероятность того, что игра закончится до 4-го броска.

Игра заканчивается, когда один из игроков впервые получает "герб". Рассмотрим возможные случаи, при которых игра заканчивается на первом, втором или третьем броске.

1. Игра заканчивается на первом броске:

• Первый игрок получает "герб" на первом броске с вероятностью:

2. Игра заканчивается на втором броске:

• Первый игрок не получил "герб" на первом броске: вероятность .
• Второй игрок получает "герб" на втором броске: вероятность .
• Совместная вероятность:

3. Игра заканчивается на третьем броске:

• Первые два броска не принесли "герба": вероятность .
• Первый игрок получает "герб" на третьем броске: вероятность .
• Совместная вероятность:

Общая вероятность того, что игра закончится до 4-го броска:

Ответ на часть а):

Вероятность того, что игра закончится до 4-го броска, равна или 87,5%.

Часть б)

Найти вероятность того, что выиграет начавший игру (первый игрок).

Рассмотрим все возможные моменты, когда первый игрок может выиграть:

• Первый бросок (1-й бросок).
• Третий бросок (1-й бросок второго круга).
• Пятый бросок (1-й бросок третьего круга).
• И так далее.

Выражение для вероятности выигрыша первого игрока:

Где:

• — вероятность того, что ни один игрок не получил "герб" в первых бросках (полных кругах).
• — вероятность того, что первый игрок получает "герб" на своем очередном броске.

Сумма геометрической прогрессии:

Ответ на часть б):

Вероятность того, что выиграет первый игрок, равна или примерно 66,7%.

Часть в)

Найти вероятность того, что выиграет второй игрок.

Поскольку сумма вероятностей выигрыша первого и второго игроков равна 1, можем найти вероятность для второго игрока:

Или вычислим напрямую:

Рассмотрим все моменты, когда второй игрок может выиграть:

• Второй бросок.
• Четвёртый бросок.
• Шестой бросок.
• И так далее.

Выражение для вероятности выигрыша второго игрока:

Где:

• — вероятность того, что ни один игрок не получил "герб" в первых бросках.
• — вероятность того, что второй игрок получает "герб" на своем броске.

Сумма геометрической прогрессии:

Ответ на часть в):

Вероятность того, что выиграет второй игрок, равна или примерно 33,3%.

Проверка:

Убедимся, что суммы вероятностей дают единицу:

Таким образом, наши вычисления корректны.