2.49. Найти вероятность того, что в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха и неудачи появится успехов и все испытания с чётными номерами закончатся успехом.

Рассмотрим последовательность из испытаний Бернулли с вероятностью успеха и неудачи .

1. Анализ условий задачи

• Общее число испытаний: .
• Общее число успехов: .
• Испытания с чётными номерами: всего испытаний.
• Испытания с нечётными номерами: также испытаний.

Условия:

• Все чётные испытания должны закончиться успехом.
• Общее число успехов равно .

Следовательно:

• На чётных позициях обязательно происходит успех ( успехов).
• Оставшиеся успехов должны произойти на нечётных позициях.
• На нечётных позициях должно быть успехов и неудач.

2. Вычисление вероятности

• Вероятность того, что все чётные испытания заканчиваются успехом:

  чёт

  (так как каждое из чётных испытаний должно закончиться успехом с вероятностью ).

• Вероятность того, что на нечётных позициях происходит ровно успехов:

  Количество способов выбрать успехов из нечётных испытаний:

  Вероятность такой последовательности:

  нечёт

3. Общая вероятность искомого события

Так как события на чётных и нечётных позициях независимы, общая вероятность:

Упрощаем выражение:

Ответ: