2024-10-22 Распределения. Теорема Лебега

Разбор домашки

ЗСЧ 2.7
Основной момент - алгебра на любом конечном множестве по совместительству сигма-алгебра. Приводим пример конечных наборов элементов из бесконечного множества.

ЗСЧ 2.50
Определяем множества, на которых случайная величина принимает различные значения. Эти множества и будут порождать сигма-алгебру.

- вероятностное пространство
, т.ч.

Функция распределения

Функция распределения случайной величины

Распределение случайной величины

Свойства функции распределения

не убывает
непрерывна слева в случае (справа в случае )

Теорема
Любая , удовлетворяющая 1-4 является функцией распределения.

Примеры с графиком функции распределения
Пример: разные случайные величины с одинаковой функцией распределения

Другой уже знакомый пример разных случайных величин с одинаковым распределением - предельные теоремы. Мы пользуемся тем, что распределение суммы случайных величин стремится к более простому распределению одной случайной величины, но при этом помним, что в равенстве участвуют разные случайные величины.

Виды случайных величин

Дискретная случайная величина

С.в. называется дискретной, если .
называется множеством возможных значений.

- ряд распределения

(тут имеет смысл сопроводить картинкой)

(например, биномиальное, Пуссоновское, геометрическое распределения)

Абсолютно непрерывная случайная величина

С.в. называется абсолютно непрерывной, если (плотность), такая, что
то есть выполняется для почти всех

(например, равномерное на отрезке или нормальное)

Сингулярная функция распределения

называется сингулярной, если непрерывна, но множество ее точек роста имеет меру
- точка роста , если

Другими словами, сингулярными называются непрерывные функции распределения, не имеющие плотностей.

Пример: Канторова лестница

Теорема Лебега

Любая функция распределения представима в виде
где
- дискретная ф.р.
- абсолютно непрерывная (а.н.) ф.р.
- сингулярная ф.р.
,

Домашнее задание

ПУУ 3.1, 3.2, 3.12